穿孔多面体
星型正多面体

 構成面に星型正多角形を適用、或いは構成面が交差する多面体で、何れかの正多面体の回転対称性を保持しています。星型一様多面体は『白銀比系』、『黄金比系』、『捩じれ系』の3種類に大別できます。捩じれ系の実態は黄金比系の星型一様多面体ですが、このグループは構成面を捩ることで求めますので、別グループとしました。頂点を結んでできる図形を『枠』と呼びますが、枠は、正多面体、半正多面体、半正多面体の変形となっています。換言すれば、白銀比系、及び黄金比系多面体では、適切な枠形状を探り、構成面を求め、星型一様多面体を求める事が出来ます。
ここでは、双対多面体と相貫体も併せて掲載しています。

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3Dプリンタ趣味の会

 当ホームページは4月末日をもって、閉設いたします。
移設の検討も行いましたが、新規開設も含めて、断念することに致しました。
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 複合多面体の頂点を繋いでいくと、ある多面体となります。この図形を『枠』と呼びます。
 複合多面体は正多面体や半正多面体と同様の回転対称性を示しますが、これは複合多面体の枠が正多面体、半正多面体、および半正多面体の変形枠となっているためです。星型一様多面体の枠とも共通する場合もあります。

 寸法一覧   
 基本図形  キューポラの厚み  正多角錐の高さ  正多角柱の厚み  正多角反柱の厚み
 一様多面体の
面接球半径
  
 正十二面体  正二十面体    
 切隅六面体  切隅八面体  切隅十二面体  
 大菱形立方八面体  小菱形立方八面体    
  検討枠  
 正六面体 正八面体   正十二面体  正二十面体 正多角柱 
要素     正四面体  UC01〜UC04    UC05〜UC06    
正六面体  UC07〜UC08    UC09    
正八面体    UC10〜UC12   UC17、UC18  UC13〜UC16,UC19
正多角柱・
正多角反柱 
   UC30〜UC31  UC26〜UC29   UC32〜UC33 UC20〜UC25 

 半正多面体とその双対による相貫体は星型一様多面体に似た美しい姿を示します。自己双対である正四面体の相貫体は2個の正四面体で構成されています。では、この図形の他にもそのような図形があるのでしょうか?
 その疑問に答えた図形が複合多面体です。5種類の正複合多面体が有名ですが、複合一様多面体と呼ばれる図形が在ります。

複合多面体
  ジョンソンの立体ベース   キューポラベース  三角五角台ベース  
 半正多面体ベース   切隅六面体ベース  切隅八面体ベース  切隅十二面体ベース
 大菱形立方八面体ベース  大菱形二十面十二面体ベース 
穿孔多面体
デルタ多面体・星型デルタ多面体
 捩じれ系  X型半正多面体  大2重3角二十面十二面体ベース  十二面十二面体ベース  重複面構造

三次元化

正多角柱

正多面体

正多角反柱

正多角錐
双対
 双対について  双対多面体の構成面形状の作図
 T型加工  U型加工  V型加工  W型加工  X型加工
星 型 一 様 多 面 体 

  このホームページの内容は
『 CGで知る相貫体 』
をベースに製作しております。

正二十面体の枠を利用した正三角柱による一様複合多面体の追加

 ある日、ジョンソンの立体を眺めているうちに、孔を穿つ事を考えました。その穴の構成面が正多角形のみで構成されているならば、面白いとだろう考えました。宮崎興二先生著の書籍『かたちと空間』(朝倉書店発行)の中に【トーラス形のトロイド。原案:ボニー・スチュワート。】と紹介された6種類の図形が紹介されていました。
 書籍『Adventures among the triods』であろう事迄は分かりましたが、入手できていません。
 従って、その詳細は不明ですが、『穿孔多面体』と名前を付けて、多面体に正多角形の面のみで構成された孔を穿った図形を探してみる事にしました。 

正多角形

  一般に知られている図形は三角形、台形や円や楕円形等の二次元図形と立方体や球や円錐、円柱等の三次元図形があります。図形の種類は無限にあり、我々の周りには数えきれない図形で溢れています。また、我々が生まれて初めて触れる玩具が積木でしょう。我々は生まれて暫く、二次元、或いは三次元図形を無意識に受け入れているのですが、いつの間にかに、それらの図形に興味を抱かなくなっています。
 それでも、図形に興味を抱き続けた人々も相当数います。図形のある幾つかの性質に目を向け、共通の性質を見出し、次に同じような性質を持つ新しい図形を探し、グルーピングして名称を付けます。また、その性質(定義)を拡張して新しい図形をその仲間に加えます。
 例えば、任意の辺の長さで構成される多角形の辺の長さを等しくすることで、似たような図形のグループが形成されます。これに『頂角が総て等しい』という新しい定義を加えると共通する図形の姿が明確になります。そして、この共通の性質を持つ図形のグループを『正多角形』と名付けることになります。
 正多角形は辺の長さが等しく、頂角が同じであるので、共通の計算式でその性質を表す事が出来ます。そして、新しい性質を持つことにも気付きます。各辺はある半径の円に接し、各頂点は別の大きさのある半径の円に接する事に気付きます。
 三次元図形についても考えてみましょう。この正多角形のみで構成される図形を探すと、10種類の図形が該当します。これに頂点は同一の正多角錐を構成するとの条件を加えると、5種類の正多面体の存在が明確になります。そして、10種類の図形のうち、正三角形のみで構成されている図形が8種類あることが判ります。所謂、『デルタ多面体』と呼ばれる図形です。5種類と8種類を加えると、13種類となります。10種類にはなりません。理由は簡単で、どちらの仲間に入るのが3種類あるからです。
 図形を調べていくと、新たな3つの方向性があることに気付かされます。
 一つ目は星形化です。正五角形は星型五角形(正5/2角形)となり、三次元の正多面体では四種類の星型正多面体が導けます。二つ目は双対図形の存在です。二次元では平面充填形から派生したもので、頂点と内心を入れ替えた図形とされていますが、三次元での双対多面体の定義は幾分、イメージが異なるようです。特に、半正多面体や正多角柱や正多角反柱では内心と頂点座標を入れ替えた図形にはなりません。
 三つ目の方向性が多次元図形です。この捉え方では、二次元で正方形が、三次元で正六面体となり、四次元空間では正八胞体となります。では、五次元図形は? 六次元図形は? 何れも存在し、このグループを『γ体』と呼びます。胸躍るような新しい世界が広がります。(4次元以上の図形では、投影図以外ではその外観を表示できません。外観表示は色々と研究はされていますが、計算や表示が煩雑で、説明は観念的となり、正確な図形(?)は読者のイメージに頼らなければならない事になります。当ホームページの容量の関係もあり、多次元図形は一時中断とします。)

 回転対称軸基準  構成面基準 多面体の包含関係 正多角柱と正多角反柱

 正多角形を加工、変形することで、三次元立体を導きますが、その方法は4種類となります。

半正多面体は正多面体を加工することで、導く事が出来ます。その加工方法は5種類に分類できます。

 ノーマン・ジョンソンは正多角形で構成された、正多面体、半正多面体、正多角柱、正多角反柱以外の図形を求め、一覧表にして発表しました。後に、ザルガラーがコンピュータを用いて、ここに示された一覧表が正しく、しかも、総てであることを証明致しました。従って、これ等の図形を『ジョンソンの立体』と呼びます。

 正三角形の面だけで構成される図形を『デルタ多面体(Delthedron)』と呼びます。
一般的には構成面は交差しませんが、正三角形の面が交差する星型デルタ多面体を検討してみました。

キューポラ・星型キューポラ

 キューポラは下底面が正2p角形、上底面が正p角形であり、その2面を正方形と正三角形が交互に並んで繋いだ図形です。底面に星型正多角形を適用する場合も成立するのか検討しました。

 基本図形  屋根図形(貼り付ける図形)を貼った図形
 屋根図形(単独)    正多角錐  キューポラ/三角四角台
 2個の屋根図形    双正多角錐  双キューポラ/双三角五角台
 正多角柱に屋根図形を貼り合わせ    長正多角錐・他  長キューポラ/長三角五角台・他
 正多角反柱に屋根図形を貼り合わせ    捩れ長正多角錐  捩れ長キューポラ・他
 一様多面体に屋根図形を貼り合わせ    正十二面体ベース  T型半正多面体ベース
 破片体に屋根図形を貼り合わせ  破片体  研削二十面体ベース  研削小菱形二十面十二面体ベース
 単体型に屋根図形を貼り合わせ  単体型  楔大冠多面体+正四角錐  

polyhedra1@osu.bbiq.jp

開設   平成24年5月1日

by 山口 陸幸

更新   平成31年3月18日

  半正多面体   
 一様多面体    正多面体の加工  正多面体の原形  T型  U型  V型  W型
星型一様多面体    白銀比系  枠  正八面体の枠  切隅六面体の枠  立方八面体の枠    小菱形立方八面体の枠
 変形枠        大菱形立方八面体の変形枠  
 黄金比系  正多面体の加工    星型正多面体      
 枠  正十二面体の枠  切隅十二面体の枠  二十面十二面体の枠    小菱形二十面十二面体の枠
 変形枠    切隅二十面体の変形枠    大菱形二十面十二面体の変形枠  小菱形二十面十二面体の変形枠