数値解析・数値計算実習2001s
　No.19 行列の固有値、ヤコビ法による対称行列の固有値計算

１．前回学習事項の確認と実習・レポートへのコメント

実習・レポートへのコメント

　考察について：皆さんが実習してみての理解(アルゴリズム、プログラム作成）したことをそれぞれ,皆さんの言葉で表現すること。

１）アルゴリズム：擬似乱数の計算とその評価では、統計的な手法が使われた。

２）プログラム：乱数では、ライブラリ関数を使うほかに、自作の擬似乱数関数を作って、評価することもできる。モンテカルロ法では、 繰返し数を増やすことで、πの近似値の精度が上がることが分かる。それを図示すると、収束の傾向がより、良く分かる。

　この数値解析・数値計算実習の授業も今回が最後です。理解し、計算が出来ることが目的であるので、皆さんがそれぞれに理解した結果の分かるレポートをアップロードすること。

２　今日の学習(行列の固有値、ヤコビ法による対称行列の固有値計算）

　( 使用中のテキストには, 出ていないので, 以下の参考書を参照します。1のみﾌﾟﾘﾝﾄで配布）
 1.戸川隼人, 情報処理入門コース7 数値計算, 岩波書店，1991,pp.113-124 
 2.鈴木誠道ほか，Ｃによる数値計算，オーム社，1997,pp.62-63 
 3.明星大学理工学部数学研究室編, 数学の基礎と応用, 明星大学出版部,1998,pp.48-51
 4.小池慎一，Ｃによる科学技術計算，ＣＱ出版社，1987,pp.295-303 

2.１　固有値, 固有ベクトルとは？

6.1 固有値問題とは

　n ×n 行列 Aに対して, 
　　　　　　 Ax = λx,  x ≠０
　を満たす数λをＡの固有値，ベクトルｘをλに対する固有ベクトルという。
　与えられた行列A の固有値, 固有ベクトルを求める問題を行列の固有値問題という。

　[ 直感的に理解するための例] 
　□  固有振動数( 振動系の解析) 　Ａａ＝−ω2 ａ　（−ω2 ：固有値，ａ：固有ベクトル）
　	例　弦の固有振動

　□　主成分分析　例　8.3 主成分分析　

　□  線形変換　　　　　　　　　　ｙ＝Ａｘ
　　　もしも，λがＡの固有値で，ｘがλに対する固有ベクトルであるとすれば，ｘはこの変換
　　によって，自分自身のスカラ（λ）倍に移されるようなベクトルである。

固有値の基本的な性質

　性質１〜６までに，数値計算法を理解するのに必要な基本的な性質が要約してある。
性質１　ｎ×n 行列は，一般に　ｎ個の固有値を持つ。ただし，いくつかの固有値は重複する場合がある。
性質２　ｘがＡの固有ベクトルならば，その任意スカラー倍αｘもＡの固有ベクトルになる。
性質３　実対称行列の固有値は実数で，相異なる固有値に対応する固有ﾍﾞｸﾄﾙは互いに直交する。
性質４　Ｍが正則行列ならば，ＭＡＭ-1はＡと同じ固有値を持つ。特にＭが直交行列ならば，
　　　　ＭＡＭ-T　がＡと同じ固有値を持つ。
（以下は省略）

6.２　実対称行列の固有値の計算法−ヤコビ（Ｊａｃｏｂｉ）法

原理
　２×２の行列の場合
　ｎ×ｎの行列の場合への拡張　Ｍ（ｐ行，ｑ列）−コピー 1のｐ．（１／６）の左下の図参照

計算手順の概要
　［１］から［５］までに述べてある。
　それを処理手順にしたものが， 1のｐ．119 の下の部分である。

固有ベクトルの求め方-p.120

２．２　ＦＯＲＴＲＡＮ言語とそのプログラム例について

プログラム仕様と実行例の解説 p.121
FORTRAN のプログラム例 p.122-123
実行例 p.124 (p.(1/6) の左側) 
　科学技術計算用に開発され，相当に使われていた。
（ワークステーションやパソコンでは，Ｃ言語でのプログラムが多くなったが。）

WebでのFORTRANサイトを３つ紹介する。
１．Ｆｏｒｔｒａｎ９０プログラミング- 講義ノート。 
　　京都大学総合人間学部基礎科学科　冨田博之 (Tomita Hiroyuki)先生による。
２．Fortran ResQ - 初心者向け解説
　　 北海道大学工学部土木工学科水圏工学講座向けの倉林　弘志先生による。
３．基礎的Fortran文法のまとめ 
　　　武蔵工業大学 工学部　情報処理センター　教育用電子掲示板から
　　
Ｃ言語との比較
　演算そのものの記述は,ｃ言語とよく似ている。配列の書きかたは，［　］でなく（　）である。
　入出力文なども似ている所はある。

２．３  C言語のJacobi法プログラムについて
1)プログラムのモジュール化−これは, 従来のプログラムを利用する。
2)ヤコビ法で, 最大の非対角要素の選択を行い、それについて変換を行う。
3)結果について，いくつかの確認の計算( 検算) をしている。


２．４ 　実習の課題とWebサイトでのレポート提出
  実対称行列ａを読込み，ヤコビ法で固有値, 固有ベクトルを求め，表示するプログラムを作れ。
（戸川参照）
[ 戸川との違い] 最大の非対角要素の選択を行い、それについて変換を行う。
                結果について，いくつかの確認の計算( 検算) をしている。

  実際には, 例プログラムをコピーして, その空白の部分( 左・右からの乗算) を追加のこと。
  (yacobipq.c,  データは, 戸川のp.121 の例−4 次−を各自で作成のこと。) 

1)  手順を見て, 自分で考えること。 (プログラム例をみるとしても。) 
  ( 単に, 結果を出せば良いのではなく, どうして, そうするのかが分かること。) 
  ( そのためには，ヤコビ法での計算方法とその処理手順を参照する。) 

2)　レポートのためには，まず, プログラムタイトルの行で自分の名前の表示に変更のこと。
　そして、最初の部分に, 考察を追加する。
　考察の内容は、
	１）固有値と固有ベクトルについて。
	２）ヤコビ法のプログラムとその実行結果について
		プログラムの構造は、どうなっているか
		固有値が求まったら、何を検算しているのか？何が分ったのか？
	３）FORTRAN言語とＣ言語の比較など
　実行結果を, 最後に付ける。( 小生の実行している分を削除して良い) 

3)  レポートファイルは、Webページとして編集して、レポート目次からリンクすること。